Quería hacer esta entrada para compartir una demostración super corta pero que me resultó batante útil para entender el siguiente resultado:

\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}\]

La cual es la curva de Bell. Un poco contraituitivo, y al ver a \(\pi\)

ahí, uno inmediatamente piensa que tiene que ver con círculos. Bueno, eso es en parte a dónde vamos.

Una manera de resolver esta integral requiere llevarla al terreno de las integrales dobles: si le sumamos una variable nuestra expresión quedaría así:

\[\iint_{plano-xy} e^{-(x^2 + y^2)}dxdy\]

Similar, pero no igual a la que teníamos originalmente. Sin embargo, si pasamos esta expresión a coordinadas polares, obtenemos algo mucho más parecido:

\[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-r^2}rd \theta dr\]

Como la integral es con respecto a \(\theta\), podemos quitar todo lo que contenga una \(r\), lo cual, en ese caso, es toda la función.

\[\int_{0}^{\infty} e^{-r^2}dr \int_{0}^{2\pi}d\theta\]

Es trivial que la segunda integral da \(2\pi\), por lo que tenemos:

\[\int_{0}^{\infty}(e^{-r^2}r)(2\pi)dr\] \[2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr\]

Y hasta aquí el conocimiento de integrales dobles. Ahora tenemos una simple integral que vamos a resolver usando el método de sustitución:

\[u = -r^2\] \[du = -2rdr\]

Insertamos nuestra sustitución en la ecuación:

\[\int_{} e^{-r^2}rdr = \int_{}e^ur\frac{du}{-2r}\] \[= \int_{}e^u \frac{-1}{2}du\] \[= - \frac{1}{2}e^u\]

Reemplazamos el valor de \(u = -r^2\) , y obtenemos que nuestra antiderivada queda:

\[\int_{} e^{-r^2}rdr = -\frac{1}{2}e^{-r^2}\]

Y fácilmente reemplazamos en nuestra integral original:

\[2 \pi \int_{0}^{\infty} e^{-r^2}rdr = 2 \pi -\frac{1}{2}e^{-r^2} \Bigg|_{\infty}^{0}\] \[= 2 \pi \bigg[ -\frac{1}{2}e^{-(\infty)^2} - \Big(-\frac{1}{2}e^{-0^2} \Big) \bigg]\] \[= 2 \pi \bigg[ -\frac{1}{2}(0) - \Big(-\frac{1}{2}(1) \Big) \bigg]\] \[= 2 \pi \frac{1}{2}\] \[= \pi\]

Una vez que hemos resuelto esta integral, podemos volver a nuestro problema original:

\[C = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx\]

Ahora podemos escribir nuestro resultado en términos de \(C\)

\[C = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)}dx dy\] \[= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}e^{-y^2}dx dy\] \[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}Cdy\] \[C \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy\] \[= C^2\]

Y como sabemos que:

\[\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)}dxdy = C^2 = \pi\] \[C = \sqrt{\pi}\]

Entonces:

\[C = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}\]

Este es un ejemplo de cómo un conocimento más genérico de un tema (en este caso, las integrales dobles en el campo de la integración) nos pueden llevar a entender el origen de un resultado que antes tomábamos como “absoluto”, o que asumíamos que era cierto sin demostración.

:~)